:高中数学人教A版选修2-3课堂导学二项式定理的应用——解决整除、余数有关问题

课堂导学

三点剖析

一、二项式定理的应用——解决整除、余数有关问题

【例1】 9192除以100的余数是多少？

解析：9192=（100-9）92=10092-·10091·9+·10090·92-…-·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数。

∵992=（10-1）92

=1092-·1091+·1090-…+·102-·10+（-1）92

=1092-·1091+·1090-…+·102-920+1

=（1092-·C91+·1090-…+·102-1 000）+81

∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81。

二、二项式定理的应用——近似计算问题

【例2】 一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P（单位：马力）和螺旋桨的直径D（单位：米）的关系是P=6D5，已知D=3。11，求P(精确到100马力)

解析：∵D=3。11

∴P=6×(3。11)5=6×(3+0。11)5

=6［35+·34·0。11+·33·(0。11)2+…+ (0。11)5］

在精确到100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计。

∴P≈6×［35+·34×0。11］

=6×（243+44。55）

=1 725。3≈1 700

即所消耗的功率约为1 700马力。

温馨提示

在用二项式定理求近似值时，要根据题目精确度的要求，合理选取二项展开式的某几项进行求值，特别当h很小而n又很大时，（1+h）n≈1+nh是工业计算中经常使用的粗算公式。

三、二项式定理的应用——证明不等式

【例3】 证明：2≤(1+)n＜3(n∈N*)

证明：当n=1时，（1+1）1=2，

当n＞1时，（1+）n=1++…＞1+1+＞2，

∴2≤(1+)n

又

∴(1+)n=1+·+·+…+·

≤

=2+1-＜3

∴2≤(1+)n＜3

温馨提示

证明(1+)n＜3还可以有如下的证法：

(