:高中数学人教A版选修2-3课堂导学解排列问题的直接求法和间接求法

课堂导学

三点剖析

一、解排列问题的直接求法和间接求法

【例1】 6个人排值日，每日一人，甲不排星期一，乙不排星期二，丙不排星期三，共有多少种不同的排法。

解析：正面思考，情形太繁多，不易解决，考虑问题的反面，即甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三，其中至少有一种情况发生。甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三可能排法的集合依次用A、B、C表示。那么，不符合题意的排法共有Card(A∪B∪C)种。

因为Card(A∪B∪C)

=Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(A∩B)-Card(B∩C)-Card(C∩A)+Card(A∩B∩C)=，所以符合题意的排法共有

=426(种)。

温馨提示

排列问题大多使用直接法求解。但有些计数问题正面情况太繁杂或直接法难以入手，这时往往从问题的反面考虑更容易解决。因此，在解排列问题时直接求法和间接求法互相补充。

二、允许重复的排列问题的求法

【例2】 四本读物中有三本是相同的，把这四本读物平均分给四个人，有多少种不同的分法？

解析：设所求的分法有N种，在每一种分法里，有三人分得的是相同的读物，一人分得的是不同的读物，假定其中第二人分得读物是b，第一、第三、第四人分得的读物都是a，因为把三本不同的书籍分给三人有种方法，所以如果把三本相同的书籍换成三本不同的书籍a1，a2，a3，那么这时分法的种数是原来的倍，也就是说，把a1，a2，a3，b四本不同的书籍分给四人的方法种数（有种）是把a，a，a，b四本书分给四人的方法种数的倍，即=，

所以N==4(种)

三、树形图在解排列问题中的应用

【例3】某工程由A，B，C，D，E，F，G，H，I 9个工序组成，由众多的施工队施工，当工序甲只有在工序乙完成后才能开工时，我们称工序乙是工序甲的紧前工序，现在这9个工序的关系及所需要工时（天）如下表：

工序