:高中数学人教A版选修2-3课堂导学：三点剖析

课堂导学

三点剖析

一、求解组合问题的等价转化方法

【例1】 有10级台阶，一个人每步上一级、两级或三级，共7步上完，则不同的走法共有多少种？

解析：要首先确定每步一上级、两级或三级的步数，这可将问题等价转化为方程的解的问题。设每步上一级的步数为x，每步上两级的步数为y，每步上三级的步数为z，则

(x、y、z∈N)。

易知0≤z≤1，可解得

或

当x=4，y=3，z=0时，它等价于将4个相同的黑球、3个相同的白球排成一列，共有=35种排法，则有35种走法。

当x=5，y=1，z=1时，同理可知有=42种走法。

由分类计数原理，共有35+42=77种走法。

二、注意排列组合应用题中的形同实异问题

【例2】（1）把6本不同的书平均分放在三只抽屉里，有多少种不同的放法？

(2)把6本不同的书平均分放在甲、乙、丙三只抽屉里，有多少种不同的放法？

解析：（1）和（2）的主要区别在于对三只抽屉有没有编号，(1)中对三只抽屉没有编号，所以说哪一只抽屉是第一只、第二只或第三只都是可以的。而（2）中对三只抽屉已经编了号。

问题1有··/=15种放法；

问题2有··=90种放法。

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在排列组合应用题中，有不少问题形同实异，在学习中容易发生混淆。对这样的题目，如果能经常注意对照、类比、辨析，对提高分析问题和解决问题的能力无疑是很有好处的。

三、立体几何中的组合问题的解法

【例3】（2005全国高考卷Ⅲ，11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共面( )

A。3个 B。4个 C。6个 D。7个

解析：事实上，平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点。不共面的四个定点可以构成三棱锥（如图），设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面α满足题意，这样的平面有四个；又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有三个。

故适合题设的平面α共有七个，应选D。

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