:二次函数

二次函数

一、基础知识

1。定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。

2。二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式。

3。二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①（；

②；(

③(顶点式)；

④；（

⑤。它们的图像都是对称轴平行于（或重合）轴的抛物线。

4。各种形式的二次函数的图像性质如下表：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

当时

开口向上

当时

开口向下

（轴）

（0，0）

（轴）

(0， )

(，0)

(，)

()

1。抛物线中的系数

（1）决定开口方向： 几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。 当时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。

（2）和共同决定抛物线对称轴的位置：当时，对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴左侧；当、异号时，对称轴在轴右侧。

（3）决定抛物线与轴交点位置：当时，抛物线经过原点； 当时，相交于轴的正半轴；当时，则相交于轴的负半轴。

2。求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：，顶点是，对称轴是直线。

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(，)，对称轴是直线。其中。

（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。。

3．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：。已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。

（2）顶点式：。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）两点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。

4。抛物线与轴的交点

设二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程