第22讲 不等式选讲
1.[2018•全国卷Ⅱ]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
[试做]
2.[2018•全国卷Ⅰ]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
[试做]
3.[2017•全国卷Ⅱ]已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
[试做]
(1)形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有两种解法:
①分段讨论法:利用绝对值内表达式对应方程的根,将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每部分内去掉绝对值并分别列出对应的不等式求解,然后取各部分解集的并集;
②图像法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图像,结合图像求解.
(2)不等式的恒成立问题一般有两种解法:
①利用函数思想转化为函数的最值问题求解;
②构造两个函数,作出函数图像,通过数形结合寻找临界状态得到参数的取值范围.
(3)利用基本不等式证明不等式是用综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已知不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后得到需证的结论.
解答1含绝对值不等式的解法
1 已知函数f(x)=|x-a|-|3x+2|(a>0).
(1)当a=1时,解不等式f(x)>x-1;
(2)若关于x的不等式f(x)>4有解,求a的取值范围.
[听课笔记]
【考场点拨】
(1)对于形如|f(x)|≥|g(x)|的不等式,可利用不等式
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