基础过关
1.已知直线l与抛物线y2=2x交于A,B(异于坐标原点O)两点.
(1)若直线l的方程为y=x-2,求证:OA⊥OB.
(2)若OA⊥OB,则直线l是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
2.已知圆O:x2+y2=4,点F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程.
(2)M,N是曲线C上的动点,且直线MN经过定点 0, ,问在y轴上是否存在定点Q,使得∠MQO=∠NQO?若存在,请求出定点Q;若不存在,请说明理由.
3.如图X17-1所示,已知椭圆Γ: + =1的右焦点为F,过点F且斜率为k的直线与椭圆Γ交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在x轴上方),点A关于坐标原点的对称点为P,直线PA,PB分别交直线l:x=4于M,N两点,记M,N两点的纵坐标分别为yM,yN.
(1)求直线PB的斜率(用k表示).
(2)求点M,N的纵坐标yM,yN(用x1,y1表示),并判断yM•yN是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
图X17-1
4.如图X17-2所示,点P(1,1)为抛物线y2=x上一定点,斜率为- 的直线与抛物线交于A,B两点.
(1)求弦AB的中点M的纵坐标;
(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点),过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两点,求证:|QE|•|QF|-|QP|•|QB|为定值.
图X17-2
能力提升
5.已知抛物线E的顶点为坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心.过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.
(1)求抛物线E的方程.
(2)是否存在直线l使得2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线
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