第16讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1.[2018•全国卷Ⅰ]设椭圆C: +y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
[试做]
2.[2016•全国卷Ⅱ]已知椭圆E: + =1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
[试做]
3.[2013•全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M: + =1(a>b>0)右焦点的直线x+y- =0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为 .
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
[试做]
命题角度 圆锥曲线中的证明、范围与最值问题
(1)解析几何证明题综合性较强,一般涉及位置关系、范围、定值、定点等,常用方法为:
①证明两直线平行或垂直的方法:
a.若两直线的斜率均存在且两直线不重合,则一定有l1∥l2⇔k1=k2;
b.若两直线斜率均存在,则一定有l1⊥l2⇔k1•k2=-1.
②解决直线与圆锥曲线位置关系的证明问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,得到一元二次方程,然后应用根与系数的关系建立方程(组),解决问题.
(2)求解范围问题的常见方法:
①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
④利用基本不等式求出参数的取值范围;
⑤利用函数的值域求范围.
(3)求圆锥
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