第13讲 立体几何
1.[2018•全国卷Ⅰ]如图M4-13-1所示,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
图M4-13-1
[试做]
2.[2018•全国卷Ⅲ]如图M4-13-2所示,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M是 上异于C,D的点.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
图M4-13-2
[试做]
3.[2016•北京卷]如图M4-13-3所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,
AB=1,AD=2,AC=CD= .
(1)求证:PD⊥平面PAB.
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.
图M4-13-3
[试做]
命题角度 立体几何大题求解策略
①利用法向量求解空间角的关键在于“四破”:
(a)破“建系关”:建立恰当的空间直角坐标系.
(b)破“求坐标关”:准确求解相关点的坐标.
(c)破“求法向量关”:求出平面的法向量.
(d)破“应用公式关”:熟记求角公式即可求出角.
②求空间角应注意的3个问题:
(a)两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β,应该是cos α=|cos β|;
(b)直线与平面所成的角α的正弦值等于平面的法向量与直线方向向量夹角β的余弦值的绝对值,即sin α=|cos β|;
(c)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能为两法向量夹角的补角.<
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