基础过关
1.已知椭圆M与椭圆N: + =1有相同的焦点,且椭圆M过点(0,2).
(1)求椭圆M的长轴长;
(2)设直线y=x+2与椭圆M交于A,B两点(A在B的右侧),O为原点,求证: • =- .
2.已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线l交抛物线C于A,B两点.
(1)若MN⊥AB,求直线l的方程;
(2)求证:点M在以AB为直径的圆上.
3.已知椭圆C: + =1的左焦点为F,点M(-4,0),过M作斜率不为零的直线l,与椭圆C交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B.
(1)求证:动直线AB恒过定点F(椭圆的左焦点);
(2)△MAB的面积记为S,求S的取值范围.
4.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(a,0)为x轴上的点.
(1)过点P作直线l与E相切,求切线l的方程;
(2)如果存在过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a的取值范围.
能力提升
5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点.
(1)若直线OA,OB的斜率之积为- ,证明:直线l过定点;
(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4- x2(-2 <x<2 )上,求|AB|的最大值.
6.已知F1,F2分别是椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点,F2恰好与抛物线y2=4x的焦点重合,过椭圆E的左焦点F1且与x轴垂直的直线被椭圆E截得的线段长为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知点P ,直线l:x=4,过F2且斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,与直线l交于M点,若直线PA,PB,PM的斜率分别是k1,k2,k3,求证:无论k取何值,总满足k3是k1和k2的等差中项.
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