:空间几何体(试卷)

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空间几何体02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：
(1)C，D，F，E四点共圆；
(2)GH2＝GE·GF.

【答案】 (1)连接CB，
∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，
又∵∠EAG＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠AEG.
∵∠ADC＝180°－∠ABC
＝180°－∠AEG＝∠CEF，
∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，
∴C，D，F，E四点共圆．
(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，
∴△GCE∽△GFD，
故＝，即GC·GD＝GE·GF.
∵GH为圆的切线，GCD为割线，
∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.



18．如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点．
(I）若PA＝2，证明：平面ABM ⊥平面PCD；
(II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．

【答案】 (Ⅰ)∵平面，.
∵点M为线段PD的中点，PA= AD =2，.
又∵平面，.
平面.
又平面，
∴平面⊥平面.
(Ⅱ)设点B到平面PCD的距离为.
∵AB∥CD, ∴AB∥平面PCD.
∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等.
过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N,

平面⊥平面，平面.
所以AN就是点A到平面PCD的距离.
设棱锥的高为，则AN=.
在△中，.
.
因为，当且仅当，即时，等号成立.
故.



19．如图，在直三棱柱ABC－A1B