:2019中考数学专题强化训练--圆的相关证明与计算（附答案）

:第二部分　专题三
类型1　与圆有关的角平分线问题
 
1．(2018•衡阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC，AB的延长线于点E，F.
 
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，CE＝2，求BD︵ 的长度．(结果保留π)
(1)证明：如答图，连接OD，
 
答图
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE.
∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．
(2)解：如答图，作OG⊥AE于点G，
则AG＝CG＝12AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∴OA＝OD＝GE＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°，
在Rt△AOG中，∵OA＝2AG，
∴∠AOG＝30°，∴∠BOD＝60°，
则BD︵ 的长度为60•π•4180＝4π3.
2．(2018•赤峰)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AC于点E，交AB于点F.
 
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径是2 cm，E是AD︵ 的中点，求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)
(1)证明：如答图，连接OD，
 
答图
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．
(2)解：连接OE，OE交AD于K，
∵AE︵ ＝DE︵ ，∴OE⊥AD．
∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，
∴△AKO≌△AKE(ASA)，∴AO＝AE＝OE，
∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，
∴S阴影＝S扇形OAE－S△AOE＝60•π•