:来宾实验中学初三（上）数学期考复习讲义—证明㈡证明㈢

:来宾实验中学初三（上）数学期考复习讲义——证明㈡ 证明㈢
一、复习知识要点：
1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2、三角形全等的判定方法：⑴一般三角形全等的判定方法：①SSS；②SAS；③ASA；④AAS。
⑵直角三角形全等的判定方法：①SSS；②SAS；③ASA；④AAS；⑤HL。
3、特殊三角形的性质和判定

性质
判定
等腰
三角形
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等边
三角形
①具有等腰三角形的所有性质；
②等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°
①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
直角
三角形
①勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
①勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
②如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形。
4、命题和逆命题、定理和逆定理：
⑴在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
⑵如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
5、线段的垂直平分线的定理及其逆定理：⑴定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
⑵逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
⑶相关定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
6、角平分线的定理及其逆定理：⑴定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
⑵逆定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这条角的平分线上。
⑶相关定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
7、尺规作图： ⑴只允许使用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图。
⑵基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③经过一点作已知直线的垂线；④平分已知角；⑤作线段的垂直平分线。
8、四边形与特殊四边形的关系:








9、几种特殊的四边形的性质和判定：
特殊四边形
性 质
判 定
边
角
对角线
边
角
对角线



平行四边形
对边平行且相等
对角相等
邻角互补
对角线互相平分
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形


矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等


1、有一个角是直角的平行四边形是矩形
2、三个角是直角的四边形是矩形
3、对角线相等的平行四边形是矩形


菱形
四边相等
对角相等
邻角互补
对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边相等的四边形是菱形

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形



正方形
四边相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
2、有一组邻边相等的矩形是正方形。

3、有一个角是直角的菱形是正方形。
4、对角线相等的菱形是正方形。
5、对角线互相垂直的矩形是正方形。

等腰梯形
两底平行
两腰相等
同一底上的两个底角相等
对角线相等
1、两腰相等的梯形是等腰梯形。

2、在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。
3、对角线相等的梯形是等腰梯形
10、一些定理和推论：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
推论：夹在两平行线间的平行线段相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；          
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
11、一些思想方法：
⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。
⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。
⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。
⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。
⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。
⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。
12、注意：
⑴四边形中基本图形



⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)


⑶菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。
二、典型例题：
例1如图，以正方形ABCD的DC边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE是等腰三角形
②求∠BAE的度数





例2等边三角形ABC中，D是三角形内一点，DA = DB，BE = AB，∠CBD = ∠EBD，求∠E的度数；












例3 已知：如图，在□ABCD中，AB = 4，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF = 60°，AF = ．
求：⑴AD与BC的距离； ⑵S□ABCD ； ⑶AD的长．








例4 已知，如图△ABC中，AD⊥BC于D点，∠B=2∠C，求证：CD=AB+BD。

例5 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF//AC交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．








三、巩固练习：㈠填空题：
1、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是   度。
2、若等腰三角形的底角等于顶角的一半，则此三角形是        三角形。
3、如右上图，直线l1,l2,l3表示三条交叉公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可以建造的地址有    个。
4、若直角三角形中两边的长分别是3cm和5cm,则斜边上的中线长是     cm。
5、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是      。
6、如果三角形有两边的长分别为5a，3a，则第三边x必须满足的条件是       ；
7、在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC上一点，作DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF=        ．
8、命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是                           ，
它是一个     (填“真”或“假”)命题.
9、直角三角形两锐角的平分线相交所成的锐角等于            。
10、如图中Rt△ABC中，斜边BC上的高线AD=5cm，斜边BC上的中线AE=6cm，
则△ABC的面积为            。
11、以长为1、、2 、、3，中的三条线段为边长可以构成        个直角三角形．
12、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为        度。
13、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，
点C落在C/的位置，如果BC=2，则BC′=      。
14、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，
则∠DBC的度数为      。
15、.判定一个四边形是正方形主要有两种方法，一是先证明它是矩形，然后证明             ，
二是先证明它是一个菱形，再证明               。
16、请写出等腰梯形ABCD(AB∥CD)特有而一般梯形不具有的三个特征：                 ；
                     ；                         。
17、菱形的对角线长分别为6cm和8cm，则此菱形的面积为________，周长为________.
18、在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长为30 cm，
则△DCE的周长为__________
19、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2；
②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是         。
（注：将你认为正确的结论都填上．）
20、已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1∶2，则较短的对角线长为         。
21、顺次连接四边形各边中点所得的图形是      ；顺次连接梯形各边的中点所得的图形是      ；
顺次连接等腰梯形各边中点所得的图形是       ；顺次连接平行四边形各边中点所得的图形是    ；
顺次连接矩形各边中点所得的图形是      ；顺次连接菱形各边中点所得的图形是      ；
顺次连接正方形各边中点所得的图形是  ；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是   。
22、如右下图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm.
23、已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,
则梯形的高是            cm。
24、如右图，在RtΔABC,∠ACB=900,∠A＜∠B，CM是斜边AB的中线，
将ΔACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，若CD恰好与AB垂直，
则∠A等于   度.
25、如右图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点
（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
则阴影部分的面积是_______.
26、如右图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°
后得到的正方形EFCG，EF交AD与点H，那么DH的长为___________．
㈡选择题：
1、至少有两边相等的三角形是(   ) 。
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
2、以下命题中，正确的是   (  )。
A．一腰相等的两个等腰三角形全等.  B．等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和都大于一腰上的高.
C．有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等.  D．等腰三角形的角平分线、中线和高共7条或3条.
3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是(  )。
A．钝角三角形   B．直角三角形   C．锐角三角形   D．等腰三角形
4、下列定理中，没有逆定理的是 (   )。
A．直角三角形的两个锐角互余   B．等腰三角形两腰上的高相等
C．全等三角形的周长相等    D．有一个锐角对应相等的两直角三角形相似
5、如上图，D在AB上，E在AC上，并且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（   ）。 A、AD＝AE  B、∠AEB＝∠ADC  C、BE＝CD  D、AB＝AC
6、等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（   ）
A、90°   B、60°   C、120°   D、150°
7、一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（  ）
A.钝角三角形   B.直角三角形   C.锐角三角形  D.等腰直角三角形
8、如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这个点是（   ）
A.    三角形三条边垂直平分线的交点  B.三角形三天边的中线的交点
C. 三角形三个内角平分线的交点   D.三角形三条边上的高的交点
9、已知△ABC中，∠A ＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（  ）
（A）90°－° （B）90°＋ ° （C）180°－n° （B）180°－°
10、下列说法中，错误的是（  ）。 A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；C、四个角都相等的四边形是矩形；D、邻边相等菱形是正方形
11、一个等腰梯形的两底之差为，高为，则等腰梯形的两底的一个锐角为（  ）。
A       B       C       D   
12、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC = 3 cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，
则这个梯形的周长是 (   )。 A. 21 cm； B. 18 cm；C. 15cm； D. 12 cm。
13、小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次
得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，
再打开后的形状应是（    ）。
14、下列判定正确的是（   ）。                  （  ）
A、对角线互相垂直的四边形是菱形；   B、两角相等的四边形是梯形；
C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形；D、两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。
15、平行四边形各内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是(    )。
A. 矩形；   B. 平行四边形；  C. 菱形；    D. 正方形
16、以下命题中，正确的是(    )。
A．一腰相等的两个等腰三角形全等； B．等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和都大于一腰上的高；
C．有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等； D．等腰三角形的角平分线、中线和高共7条或3条。
17、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的
度数是（   ）。 （A）30°  （B）36°  （C）45° （D）54°
18、下列各组数分别为三角形的三边长：①2，3，4；②5，12，13；③，，2；
④m2-n2 ， m2+n2，2 mn.其中是直角三角形的有（  ）
  A.①②       B.③④       C.①③          D.②④
19、如右图，梯形ABCD中，AD∥BC，,E、F分别是AD、BC的中点，
若AD=5cm，BC=13cm，那么EF=（   ）cm 。  A.4  B.5 C.6.5 D.9
20、如右下图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，DE⊥AB，DF⊥AC，
CG⊥AB，DE、DF、CG的长分别为h1、h2、h3，则h1、h2、h3的关系为（ ）。
A、h1+h2＞h3    B、h1+h2＜h3  C、h1+h2=h3  D、不能确定
㈢作图题
1、如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成
四个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分的面积相等。
（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）







2、已知：如图，△ABC中，AB=AC.
(1)按照下列要求画出图形：①作∠BAC的平分线交BC于点D；
②过D作DE⊥AB，垂足为点E；③过D作DF⊥AC，垂足为点F.
(2)根据上面所画的图形，求证：EB=FC.



㈣解答或证明题：
1、已知，如图，O是⊿ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，
OE∥AC交BC于E，若BC = 10 cm，求⊿ODE的周长。






2、已知，如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，
EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？








3、已知：在□ABCD中，AM = CN，BF = DE．求证：MN、EF互相平分．









4、△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，
求证：四边形MNEF是平行四边形。










5、如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交∠BAC的平分线AD于D，
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，试证明：BM＝CN．




6、我们学习了很多定理，并对他们进行了证明，你还记得“三角形中位线定理”吗？请你先默写“三角形中位线定理”并证明这一定理。









7、在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE．
求证：DM＝EM．













8、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E在BC上，且AE、DE分别平分∠BAD和∠ADC。
求证：BE=EC。








9、如图，在□ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于Ｏ点，ＢＤ＝2ＡＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是ＯＣ、ＯＤ、ＡＢ的中点．
求证： （1）ＢＥ⊥ＡＣ；�（2）ＥＧ＝ＥＦ．