:2020版高考数学大一轮复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ练习（9套浙江专用）

变量分离技巧的应用
知 识 拓 展
分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端各含同一个变量，这是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一范围未知.
结论1　不等式f(x)≥g(a)恒成立?[f(x)]min≥g(a)(求解f(x)的最小值)；
不等式f(x)≤g(a)恒成立?[f(x)]max≤g(a)(求解f(x)的最大值).
结论2　不等式f(x)≥g(a)存在解?[f(x)]max≥g(a)(求解f(x)的最大值)；
不等式f(x)≤g(a)存在解?[f(x)]min≤g(a)(求解f(x)的最小值).
结论3　方程f(x)＝g(a)有解?g(a)的范围与f(x)的值域有交集(求解f(x)的值域).
解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；
(2)确定是求最大值、最小值，还是值域.
题 型 突 破
题型一　不等式恒成立求参数
【例1】 已知函数f(x)＝ax－ln(x＋1)＋a－1(x>－1，a∈R).
若函数f(x)在x＝0处取到极值，且对任意x∈(－1，＋∞)，f(x)≥mx＋m－2恒成立，求实数m的取值范围.
解　f′(x)＝a－1x＋1，f′(0)＝a－1＝0，
∴a＝1，f(x)＝x－ln(x＋1)，
∴f(x)＝x－ln(x＋1)≥m(x＋1)－2，
∴m≤x＋2－ln（x＋1）x＋1(x>－1).
令x＋1＝n，n>0，
∴m≤n－ln n＋1n＝1－ln nn＋1n，
设g(n)＝1－ln nn＋1n，n>0，则g′(n)＝ln n－2n2；
当n∈(0，e2)时，g′(n)<0，g(n)单调递减，
当n∈(e2，＋∞)时，g′(n)>0，g(n)单调递增，
则g(n)min＝g(e2)＝1－1e2，
∴m的取值范围为－∞，1－1e2.
【训练1】 已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，x∈(0，1]，且|f(x)|≤3恒成立