:专题02 导数与零点个数
导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。
【题型示 例】
1、设 为实数,函数 ．
(1)求 的极值点；
(2)如果曲线 与 轴仅有一个交点,求实数 的取值范围．
【答案】
（1） 的极大值点为 ,极小值点为 ．（2） 或 ．
2、已知函数 .
（1）求 的极值；
（2）若函数 的图象与函数 的图象在区间 上有公共点,求实数 的取值范围.
【答案】
（1）极大值 ，无极小值；
（2） .
【解析】
（1） 的 定义域为 , ,令 得 ，
当 时， ， 是增函数；
当 时， ， 是减函数，
所以 在 处取得极大值,
无极小值.
（2）①当 时，即 时，
由 （1）知 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 ，
因为 的图象与 的图象在 上有公共点,
所以 ，解得 ，又 ，所以 .
②当 时，即 时， 在 上是增函数，
所以 在 上最大值为 ，
所以原问题等价于 ,解得 .
又 ，所以此时 无解.
综上,实数 的取值范围是 .
3、设函数 （其中 ）．
（Ⅰ）求函数 的极值；
（Ⅱ）求函数 在 上的最小值；
（Ⅲ）若 ，判断函数 零点个数．
【答案】
（1）极小值 ，不存在极大值；
（2）
（3）1个．
【解析】
（Ⅰ） ，
由 得 ，由 得 ，
在 单调递增，在 单调递减．
极小值 ，不存在极大值．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 在 单调递增，在 单调递减．
当 时， 在 单调递减， 单调递增，
∴ ．
当 时， 在 单调递增，
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