:专题01 极值点的关系证明
极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值 点 的关系，再通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最 值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。
【题型示例】
1、已知函数 ,其中 为正实数．
(1)若函数 在 处的切线斜率为 ，求 的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若函数 有两个极值点 ，求证： ．
【答案】
(1)
(2)单调减区间为 , ,单调减区间为 ．
(3)见解析
【解析】
(1)因为 ，所以 ，
则 ,所以 的值为 ．
(2) ，函数 的定义域为 ，
若 ,即 ,则 ,此时 的单调减区间为 ;
若 ,即 ,则 的两根为 ,
此时 的单调减区间为 , ,
单调减区间为 ．
(3)由(2)知 ，当 时，函数 有两个极值点 , 且 ．
因为
要证 ,只需证 ．
构造函数 ，则 ，
在 上单调递增,又 ,且 在定义域上不间断,
由零点存在定理，可知 在 上唯一实根 , 且 ．
则 在 上递减, 上递增,所以 的最小值为 ．
因为 ,
当 时, ,则 ,所以 恒成立．
所以 ,所以 ，得证．
2、已知 。
(1)若 时, 在 上为单调递增函数,求实数的取值范围.
(2)若 , 存在两个极值点 , 且 ,求实数 的取值范围.
【答案】
(1) ;
(2) .
【解析】
(1)当 时, , 在 上为单调递增函数,即 ,只需满足 即可,即 .
(2) , ,∴ ,
令 , 时, , , 无极值点,
时,令 得: 或 ,
由 的定义域可知 ,且 ,
∴ 且 ,解得
