:2020河北中考数学分层刷题训练 第五章 图形的变化 第25讲 与圆有关的位置关系

1. (2018，河北)如图，点A在数轴上表示的数为26，以原点O为圆心，OA的长为半径作优弧AB，使点B在点O的右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过点P作直线 l∥OB交数轴于点Q，设点Q在数轴上表示的数为x，连接OP.

第1题图

(1)若优弧上的一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；

(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；

(3)若线段PQ的长为12。5，直接写出这时x的值．

解：(1)由＝13π，解得n＝90。

∴∠AOP＝90°。

PQ∥OB，∴∠PQO＝∠QOB。

∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝。

∴OQ＝。∴x＝。

(2)如答图①。当点Q在点O的左边，直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．

在Rt△OPQ中，tan∠OQP＝＝，

∴OQ＝OP÷＝32。5，此时x的值为－32。5。

(3)分三种情况．

①如答图②，过点O作OH⊥PQ于点H。

设OH＝4k，QH＝3k，则OQ＝5k。

在Rt△OPH中，OP2＝OH2＋PH2，

∴262＝(4k)2＋(3k－12。5)2。

整理，得k2－3k－20。79＝0。解得k＝6。3。

∴OQ＝5k＝31。5，此时x的值为31。5。

②如答图③，过点O作OM⊥PQ交PQ的延长线于点M。

设OM＝4a，QM＝3a，则OQ＝5a。

在Rt△OPM中，OP2＝OM2＋PM2，

∴262＝(4a)2＋(12。5＋3a)2。

整理，得a2＋3a－20。79＝0。解得a＝3。3。

∴OQ＝5a＝16。5，此时x的值为－16。5。

③如答图④，过点O作ON⊥PQ于点N。

设ON＝4b，QN＝3b，则OQ＝5b。

在Rt△OPN中，OP2＝ON2＋PN2，

∴262＝(4b)2＋(3b－12。5)2。

整理，得b2－3b－20。79＝0。解得b＝6。3。