:高三课时跟踪检测（十） 立体几何 （大题练）

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A卷——大题保分练
1.(2018·洛阳模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝2，且平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：平面AEF⊥平面PCD；
(2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：由题意知，PA＝PD＝AD，F为PD的中点，
可得AF⊥PD，
平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD.
又AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，
又CD∩PD＝D，
∴AF⊥平面PCD，又AF⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O，BC的中点G，连接OP，OG，
PA＝PD＝AD，∴OP⊥AD.
平面PAD⊥平面ABCD，OP⊂平面PAD，∴OP⊥平面ABCD.
分别以OA，OG，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，C(－1,2,0)，E，F，＝，＝(0,1,0)．
设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
可取m＝(1,0，)，为平面AEF的一个法向量．
同理，可得平面ACE的一个法向量为n＝(，，1)．
cos〈m，n〉＝＝＝.
∴平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为.
2.(2018·山西八校联考)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，CC1⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．
(1)当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE?
(2)求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值．
解：(1)当＝，即G为BB1的中点时，平面CDG⊥平面A1DE.
证明如下：因为点D，E分别是AB，BC的中点，
所以DE∥AC且DE＝AC，
又AC∥A1C1，