课 题： 第12课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则
，
其中等号当且仅当时成立。
证明：
几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，
而，，
所以柯西不等式的几何意义就是：，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：
分析：
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
证明：构造二次函数：
即构造了一个二次函数：
由于对任意实数，恒成立，则其，
即：，
即：，
等号当且仅当，
即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
如果（）全为0，结论显然成立。
柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设 ，等号成立当且仅当
变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。
二、典型例题：
例1、已知，，求证：。
例2、设，求证：。
例3、设为平面上的向量，则。
例4、已知均为正数，且，求证：。
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