:2020学年人教A版高三数学选修4-5 二维形式的柯西不等式 学案

一 二维形式的柯西不等式

知识梳理

1。维形式的柯西不等式

若a，b，c，d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥__________，当且仅当__________时，等号成立。

二维形式的柯西不等式的推论：

(a+b)(c+d)≥__________ (a，b，c，d为非负实数)；

≥__________ (a，b，c，d∈R)；

≥__________ (a，b，c，d∈R)。

2。柯西不等式的向量形式

设α，β是两个向量，则|α·β|≤__________，当且仅当β是__________，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立。

3。二维形式的三角不等式

≥___________(x1，y1，x2，y2∈R)

推论：≥____，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)。

知识导学

本节学习的是经典不等式中的又一个（均值不等式已学过）柯西不等式，而二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式。柯西不等式的几种形式间是等价的，但要注意结构形式的变化对数值的要求。

柯西不等式与均值不等式作对比，柯西不等式中的字母、数较多，不容易记忆，这就要求认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，从数与形两个方面来理解和记忆。

对等号“=”取到的条件要从推导过程中来理解。

疑难突破

1。对柯西不等式的理解

柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为有四个顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会。(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识。

“二维”是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系。

2。“=”取到的条件

柯西不等式取“=”的条件，也不易记