:2019版高考数学二轮复习压轴大题提分训练（共6套）

压轴大题拉分练(01)
(满分：24分　时间：30分钟)
1．(12分)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为：F1(－22，0)，F2(22，0)，且双曲线C经过点P(42，27)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x＝2上，且OA→?OB→＝0.是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．
解：(1)点P(42，27)在双曲线C上．
32a2－28b2＝1①，b2＝8－a2②
②代入①去分母整理得：a4－68a2＋32×8＝0，解得a2＝4，b2＝4．
∴所求双曲线C的方程为x24－y24＝1．
(2)设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(2，t)，
其中x0＞2或x0＜－2．
当y0≠t时，直线AB的方程为y－t＝y0－tx0－2(x－2)，
即(y0－t)x－(x0－2)y＋tx0－2y0＝0，
若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值．
设圆心O到直线AB的距离为d，
则d＝|tx0－2y0|?y0－t?2＋?x0－2?2，
∵y0≠0，∴t＝－2x0y0，又x20－y20＝4，
∴d＝22|y20＋2y0|2y40＋8y20＋82y20＝22|y20＋2y0|2|y20＋2y0|＝2，
此时直线AB与圆x2＋y2＝4相切，
当y0＝t时，x0＝－t22，
代入双曲线C的方程并整理得t4－2t2－8＝0，
解得t＝±2，此时直线AB：y＝±2，也与圆x2＋y2＝4相切．
综上得存在定圆x2＋y2＝4与直线AB相切．
2．(12分)已知函数f(x)＝aln x－2ax＋1．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)对任意的x≥1，不等式f(x)＋ex－1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝a?1－2x?x，
当a＞0时，令f′(x)＞0?0＜x＜12，f′(x)＜0?x＞12，
所以此时f(x)在区间0，12递增，12，＋∞递减；
当a＜0时，令f′(x)＞0?x