:2020年中考数学圆压轴突破训练：提高篇（含解析）

:2020年中考数学备考之圆压轴突破训练：提高篇
1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一动点（不与点A、B重合），D是半圆ADB中点，C、D在直径AB的两侧．
（1）过点C作⊙P的切线交DB的延长线于E，当∠BAC＝30°时，求证：BC＝CE．
（2）若在⊙O内存在点P，使得AP＝AD，CB＝CP．
①证明：AC2+CP2＝2AP2
②当△ACP是直角三角形时，求∠AOC的度数．
解：（1）证明： CE是⊙P的切线，∠BAC＝30°，
∴∠BCE＝∠BAC＝30°．
AB是⊙O的直径，D是半圆ADB中点，
∴△ADB是等腰直角三角形，∠BAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝30°+45°＝75°．
四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠CAD＝75°，
∴∠E＝180°﹣∠BCE﹣∠CBE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠E＝∠CBE＝75°，
∴BC＝CE；
（2）①证明： AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
CB＝CP，∴AC2+CP2＝AB2．
△ADB是等腰直角三角形，且∠ADB＝90°，AD＝BD，
∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2，
AP＝AD，∴AB2＝2AP2，
∴AC2+CP2＝2AP2；
②解： AC2+CP2＝2AP2，
∴当△ACP是直角三角形时，AP不可能为斜边，所以分两种情况：
（Ⅰ）当AC为斜边时，则AP2+CP2＝AC2，
又 AC2+CP2＝2AP2，∴AP2+CP2+CP2＝2AP2，∴AP2＝2CP2，
AB2＝2AP2，∴AB2＝4CP2＝4BC2，∴AB＝2BC，
∴∠CAB＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°；
（Ⅱ）当CP为斜边时，则AP2+AC2＝CP2，
又 AC2+CP2＝2AP2，∴AP2+AC2＝2AP2﹣AC2，∴AP2＝2AC2，
AB2＝2AP2，∴AB2＝4AC2，∴AB＝2AC， <