:2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：证明不等式的基本方法

【课时训练】第72节证明不等式的基本方法

解答题

1．(2018广州五校联考)已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，其最小值为t。

(1)求t的值；

(2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：＋≥。

(1)【解】因为|x＋3|＋|x－1|＝|x＋3|＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4。

(2)【证明】由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时取等号，故＋≥。

2．(2018湖北八校联考)设不等式－2<；|x－1|－|x＋2|<；0>；(1)证明：<；；

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．

(1)【证明】记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝

由－2<；－2x－1<；0br=>；所以≤|a|＋|b|<；×＋×＝。

(2)【解】由(1)得a2<；，b2<；。

因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>；0。

所以|1－4ab|2>；4|a－b|2，故|1－4ab|>；2|a－b|。

3．(2018广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<；2>；(1)求实数m的值；

(2)若α，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：＋≥3。

【解】(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|。

要使不等式|x－m|＋|x|<；2br=>；因为m∈N*，所以m＝1。

(2)因为α，β≥1，f(x)＝2x－1(x≥1)，

所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，所以＋＝(α＋β)＝≥＝3。(当且仅当＝，即α＝2，β＝1时等号成立)故＋≥3。

4．(2018武昌质检)已知x，y∈R，且|x|<；1>；【证明】∵≤＝≤＝1－|xy|，∴＋≥≥，

∴原不等式成立．

5．(2018长沙一模)设α，β，γ均为实数．