:热点专项练(三) 函数综合
类型一 待定系数法确定函数表达式
1.(2018·江苏苏州)如图,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长;
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC∥直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.
解(1)由x2-4=0解得x1=2,x2=-2.
点A位于点B的左侧,∴A(-2,0).
直线y=x+m经过点A,∴-2+m=0,
∴m=2,∴D(0,2).
∴AD=OA2+OD2=22.
(2)解法一:设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2,
∴y=x2+bx+2=x+b22+2-b24.
直线CC∥直线AD,并且经过点C(0,-4),
∴直线CC的函数表达式为y=x-4.
∴2-b24=-b2-4,整理得b2-2b-24=0,解得b1=-4,b2=6.
∴新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.
解法二: 直线CC∥直线AD,并且经过点C(0,-4),
∴直线CC的函数表达式为y=x-4.
新抛物线的顶点C在直线y=x-4上,
∴设顶点C的坐标为(n,n-4),
∴新抛物线对应的函数表达式为y=(x-n)2+n-4.
新抛物线经过点D(0,2),
∴n2+n-4=2,解得n1=-3,n2=2.
∴新抛物线对应的函数表达式为y=(x+3)2-7或y=(x-2)2-2.
类型二 一次函数与反比例函数交点问题
2.(2018·湖北恩施)如图,直线y=-2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,与反比例函数y=kx的图象有唯一的公共点C.
(1)求k的值及C点坐标.
(2)直线l与直线y=-2x+4关于x轴对称,且
