:2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章_平面解析几何_51_word版含解析

第51节圆锥曲线的综合问题

解答题

1．(2018沈阳二中期末)已知直线l：y＝x＋m，m∈R。

(1)若以点M(2，－1)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；

(2)若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线C：x2＝y(m≠0)相切，求直线l和抛物线C的方程．

【解】(1)由题意得点P的坐标为(－m，0)，且MP⊥l，

所以kMP·kl＝·1＝－1(kl为直线l的斜率)，

解得m＝－1。所以点P(1，0)．

设所求圆的半径为r，则r2＝|PM|2＝1＋1＝2，

所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝2。

(2)将直线l：y＝x＋m中的y换成－y，可得直线l′的方程为y＝－x－m。

由得mx2＋x＋m＝0(m≠0)，Δ＝1－4m2，

因为直线l′与抛物线C：x2＝y相切，

所以Δ＝1－4m2＝0，解得m＝±。

当m＝时，直线l的方程为y＝x＋，抛物线C的方程为x2＝2y；

当m＝－时，直线l的方程为y＝x－，抛物线C的方程为x2＝－2y。

2．(2018新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(2，0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝t，其中t∈，求|AB|的取值范围．

【解】(1)依题意得解得

∴椭圆C的方程为＋y2＝1。

(2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)．由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，

∴Δ＝8(1－2k2)＞0，解得k2＜。

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

由＋＝t得P，，

代入椭圆C的方程得t2＝。

由＜t＜2得＜k2＜，

∴|AB|＝·

＝2。

令u＝，则u∈，

∴|AB|＝2∈。

∴|AB|的取值范围为。