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课时提升作业 十
一般形式的柯西不等式
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,
ax+by+cz=20,则= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由已知得
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,
结合柯西不等式,知===,所以=.
2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是
( )
A.9 B.10 C.14 D.15
【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+()2+()2]·[(3x)2+(2y)2+(z)2]
=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立.
故u=3x+6y+5z的最大值为9.
3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是 ( )
A.x≥1或x≤-3 B.-3≤x≤1
C.x≥-1或x≤3 D.-1≤x≤3
【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.
【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+c)2,
所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤|x+1|,
所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______.
【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1)
≥(2x+2y+z-1)2=81,
所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3
