第十七章 勾 股 定 理
1.在非直角三角形中作辅助线的方法
(1)作高(垂线)法:解一般三角形的问题常常通过作高或作某一边的垂线段,转化为直角三角形,利用勾股定理计算或证明.
【例1】在△ABC中,AB=2 ,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
【标准解答】∵AC=4,BC=2,AB=2 ,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°.
分三种情况:
情况1:如图,过点D作DE⊥CB,垂足为点E.
易证△ACB≌△BED,易求CD=2 ;
情况2:如图,过点D作DE⊥CA,垂足为点E.易证△ACB≌△DEA,易求CD=2 ;
情况3:如图,过点D作DE⊥CB,垂足为点E,过点A作AF⊥DE,垂足为点F.易证
△AFD≌△DEB,易求CD=3 .
(2)根据图形特点作辅助线构造直角三角形法:有些几何图形,比如四边形,本身就具备直角的已知条件,但没有直角三角形,此时要根据图形特点巧构直角三角形
【例2】如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.
【标准解答】延长AD,BC交于E点,如图.
∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°.
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
则BE= =4 .
∵DE= =2 ,
∴四边形ABCD的面积=△ABE的面积-△CDE的面积=6 .
△ABC中,AB=4,BC=3,∠BAC=30°,则△ABC的面积为 .
2.运用数学思想处理问题
(1)分类讨论思想:在一些求值计算中,有些题目没有给出图形,当画出符合题意的图形不唯一时,要注意分情况进行讨论,避免漏解.
【例1】已知三角形相邻两边长分别为20 cm 和30 cm.
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