:2019年中考数学复习--二次函数的应用2（带解析）

第19讲　二次函数的应用(2)
 
1. (2012，河北，导学号5892921)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间，每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据.
薄板的边长/cm 20 30
出厂价/(元/张) 50 70
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式；
(2)已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润是26元(利润＝出厂价－成本价)．
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式；
②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
【思路分析】 (1)设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y＝kx＋n.利用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元．由题意，得p＝y－mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可．②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．
解：(1)设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y＝kx＋n.
由表格中的数据，得50＝20k＋n，70＝30k＋n.
解得k＝2，n＝10.
所以一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式为y＝2x＋10.
(2)①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元．
由题意，得p＝y－mx2＝2x＋10－mx2.
将x＝40，p＝26代入p＝2x＋10－mx2，得26＝2×40＋10－m•402.
解得m＝125.
所以一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式为p＝－125x2＋2x＋10.
②因为a＝－125＜0，
所以当x＝－b2a＝－22×－125＝25(在5～50之间)时，
p最大＝4ac－b24a＝4×－125×10－224×－125＝35.
所以出厂一张边长为25 cm的薄板，获得的利润最大，最大利润