:2019年中考数学复习专题突破--运动问题（附解析）

:专题六　运 动 问 题
 　几何运动中的　　函数问题
例1   (2018，唐山路北区二模，导学号5892921)把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与点E重合)，点B，C(E)，F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，EF＝9 cm.如图②，△DEF从图①的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动．在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t s(0＜t＜4.5)．
 
例1题图
解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
(2)连接PE，设四边形APEC的面积为y cm2，求y与t之间的函数关系式．是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，请求出y的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】 (1)因为点A在线段PQ的垂直平分线上，所以AP＝AQ，用含t的式子表示出这两条线段的长解方程即可得解．(2)过点P作PM⊥BC，将四边形APEC的面积表示为S△ABC－S△BPE即可求解．(3)由相似三角形的性质即可求解．
 解：(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP＝AQ.
∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，
∠DEF＋∠ACB＋∠EQC＝180°，
∴∠EQC＝45°.
∴∠DEF＝∠EQC.
∴CE＝CQ.
由题意，知CE＝t，BP＝2t.
∴CQ＝t.∴AQ＝8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝10.
∴AP＝10－2t.
∴10－2t＝8－t.
解得t＝2.
∴当t＝2时，点A在线段PQ的垂直平分线上．
(2)如答图①，过点P作PM⊥BE，交BE于点M.
∴∠BMP＝90°.
在Rt△ABC和Rt△PBM中，sin B＝ACAB＝PMPB，
∴810＝PM2t.