:2020中考数学二次函数培优专题：距离存在性问题

来源：快读网编辑：秩名时间：2020-04-22

:2020中考数学培优专题：
距离存在性问题（含答案）
例题1. 在直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，抛物线上的一点C的横坐标为1．
（1）求AC的长度．
（2）若顶点A在x轴上，此时抛物线上有一点D，使得直线BD交x轴于点F，且原点O到直线BD的距离为，求点D的坐标．
【答案】
（1）根据题意，如图所示，过点C作轴交于点，抛物线上一点C的横坐标为1，∴，又顶点为A，∴，在中，根据勾股定理得：，得：；
（2）①当直线DB经过第一、二、四象限时，设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作于点M，点O到直线DB的距离为，∴，
又点在x轴上，∴，，
∴，∴，在中，根据勾股定理得：，
，，∴，，
∴，又，∴，
∴，即，∴，∴，
∴直线BF解析式为，
∴，解得：或，∴点D的坐标为．
②当直线BD经过第一、二、三象限时，点D的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
例题2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，的面积，抛物线经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
设抛物线解析式为，
将C点坐标代入，得，
抛物线解析式为，
即；

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