:2020中考数学 二次函数培优专题：二次函数与圆综合（含答案）

:2020中考数学 培优专题：二次函数与圆综合（含答案）
例题1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，若将经过A、C两点的直线沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上的一点，设三角形ABP、三角形BPC的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，与两坐标轴同时相切？
【答案】
（1）因为沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
所以，，将代入，
得，解得．所以直线AC为：
因为抛物线的对称轴是直线，
所以，解得.
所以抛物线的函数表达式为：.
（2）如图，过点B作于点D.
因为，所以.
过点P作轴于点E，则，
所以. 所以.
所以. 所以，解得. 所以点P的坐标为.
（3）存在，设点Q的坐标为
①当与y轴相切时，有，即.
当时，得，所以.
当时，得，所以，
②当与x轴相切时，有，即，
当时，得，
即，解得，所以
当时，得，即，
解得，所以，
综上所述，存在符合条件的，其圆心Q的坐标分别为，，，，
探究：设点Q的坐标为.
当与两坐标同时轴相切时，有.
①当时，得，即，
此时，所以次方程无解.
②当时，得，即.
解得.
∴当的半径为时，与两坐标同时轴相切.
例题2. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM的长为半径作，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作的切线l，且l与x轴的夹角为？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保留