:专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十五题型上_全析高考常考的6大题型含解析

:课时跟踪检测（五十五） 题型上——全析高考常考的6大题型
1．(2019·唐山联考)已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的A，B两点，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k.
(1)求k的取值范围；
(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0)．
解：(1)由题设可知k≠0，
所以直线m的方程为y＝kx＋2，
与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0.①
由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜.
直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，
整理得y2＋4ky－8k＝0，
由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2.
所以
故k的取值范围为(－∞，－2)∪.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．
由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M.同理可得N(2k2＋2k，－2k)．
直线MQ的斜率kMQ＝＝－，
直线NQ的斜率kNQ＝＝－＝kMQ，
所以直线MN过定点Q(2,0)．
2．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为.
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，－2＜x0＜2，所以kAM＝，
因为AM⊥DE，所以kDE＝－，
所以直线DE的方程为y＝－(x－x0)．
因为kBN＝－，
所以直线BN的方程为y＝－(x－2)．
由解得E，
所以S△BDE＝|BD|·|yE|，S△BDN＝|BD|·|yN|，
所以＝＝＝，
结论成立．