:【2020中考数学专项复习】角平分线模型探究

:【中考专项复习】角平分线模型
【回归概念】
（一）定理：角平分线定义（Angle bisector definition）
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。（定义）
2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
（二）与角平分线相关的模型
1.角平分线+平行线—等腰三角形（见下图1）
2.过角平分线上的点作角两边的垂线（见下图2）
3.角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形（见下图3）
4.过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形（见下图4）

【规律探寻】
1.两个内角平分线的夹角：
三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和。
2.一个内角平分线和一个外角平分线的夹角
三角形一内角与另外一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半。
3.两个外角平分线的夹角
三角形两个外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差。
【典例解析】
例题1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
【点拨】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
【解析】解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.

【例题2】已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
BM是△ABC的角