:2020年中考数学相似难题压轴题汇编

:（2010年浙江杭州）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．[来源:Z。xx。k.Com]
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线”．
尝试解决：
A





B C
A





B C
图 1 图 2

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．






（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB
于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5 cm，
AC＝6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．
解：(1) 作线段AC的中垂线BD即可.
(2) 小华不会成功．
若直线CD平分△ABC的面积
那么
∴
∴

∴
∴ 小华不会成功．
（3）① 若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．
② 若直线不过顶点，可分以下三种情况：
（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示
过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G
易求，BG=4，AG=CG=3
设CF=x，则CE=8-x
由△CEH∽△CBG，可得EH=
根据面积相等，可得
∴ （舍去，即为①）或
∴ CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．
（b）直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示
由 (a)可得，AM=3，A