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大题分层练(四)三角、数列、概率统计、立体几何(D组)
1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.
(1)当x∈时,求f(x)的单调递减区间.
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域.
【解析】(1)由题知f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin,
因为相邻两对称轴的距离为,
所以T==×2=π,ω=2.
又因为f(x)为奇函数,
所以φ-=kπ,φ=+kπ,(k∈Z),
0<φ<π,所以φ=,即f(x)=2sin 2x,
要使f(x)单调递减,
需-π≤2x≤-,-所以f(x)的单调减区间为.
(2)由题知g(x)=2sin,
因为-≤x≤,
所以-≤4x-≤,-1≤sin≤,-2≤g(x)≤,
所以函数g(x)的值域为[-2,].
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)令cn=设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,则
即解得
所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.
(2)由a1=3,an=2n+1得Sn==n(n+2),则cn=
即cn=
所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)= +(2+23+…+22n-1) =1-+=+(4n-1).
3.某市从参加广场活动的人员中随机抽取了1 000名,得到如表:
市民参加广场活动项目与性别列联表
广场舞
球、棋、牌
总计
男
100
200
300
女
300
400
