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大题分层练(五)解析几何、函数与导数(A组)
1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2).
(1)求抛物线C的方程.
(2)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.
【解析】(1)依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a≠0).
由抛物线C经过点P(1,2),得a=4,所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由题意作出图象如图所示.因为|PM|=|PN|,所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.
依题意,直线AP的斜率存在且不为零,设直线AP的方程为y-2=k(x-1)(k≠0),
将其代入抛物线C的方程,整理得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0.
设A(x1,y1),则1×x1=,y1=k(x1-1)+2=-2,所以A.
以-k替换点A坐标中的k,得B.
所以kAB==-1.即直线AB的斜率为-1.
2.已知函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其中e为自然对数的底数.
(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围.
(2)已知函数g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)根据题意,函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其导数为f′(x)=ex-2(a-1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f′(x)=ex-2(a-1)≥0在区间[0,1]上恒成立,
所以2(a-1)≤(ex)min=1(其中x∈[0,1]),解得a≤;
当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f′(x)=ex-2(a-1)≤0在区间[0,1]上恒成立,
所以2(a-1)≥(ex)max=e(其中x∈[0,1]),解得a≥+1.综上所述,实数a的取值范围是∪.
(2)函数g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,则g′(x)=ex-2(a-1)x-b,分析可得f(x)=g′(x).由g
