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大题分层练(二)三角、数列、概率统计、立体几何(B组)
1.在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=2,BD=,∠BCD=2∠ABD,
△ABD的面积为2.
(1)求AD的长.
(2)求△CBD的面积.
【解析】(1)由已知S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×2×sin∠ABD=2,所以
sin∠ABD=,又∠ABD∈,所以cos∠ABD=,在△ABD中,由余弦定理得:
AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=5,所以AD=.
(2)由AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD=,
所以sin∠CBD=cos∠ABD=,
又∠BCD=2∠ABD,
sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=,
∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π--2∠ABD=-∠ABD=∠CBD,
所以△CBD为等腰三角形,即CB=CD,在△CBD中,由正弦定理得: =,
所以CD===,
S△CBD=CB·CD·sin∠BCD=×××=.
2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a3=64,a2+a5=72,数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,因为a1a3=64,a2+a5=72,
所以(a1q)2=64,a1q(1+q3)=72,
所以q=2,a1=4,
所以数列{an}的通项公式为an=4×2n-1=2n+1.
当n=1时,b1=S1=1,
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=-=n.
综上可得:bn=n.
(2)cn===-.
所以Tn=++…+
=1-=.
3.某中学举行了一次“中国诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(
