1．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA=2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．
证明：（1）∠ACB=90°，AB=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，
又∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC．
（2）△PAB∽△PBC，
∴
，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴
，
∴
，
∴PA=2PC．
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，
∴PF=h1，PD=h2，PE=h3，
∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，
∴∠APC=90°，
∴∠EAP+∠ACP=90°，
又∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，
∴∠EAP=∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴
，即
，
∴h3=2h2，
△PAB∽△PBC，
∴
，
∴
，
∴
．
即：h12=h2·h3．
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