:2020届中考数学知识点《二次函数综合》强化练习卷

:二次函数综合题
1．（2019南宁）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，–1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（–6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1=0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2=0），令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
解：（1）C1顶点在C2上，C2顶点也在C1上，
由抛物线C1：y1=x2+x可得A（–2，–1），
将A（–2，–1），D（6，–1）代入y2=ax2+x+c
得，解得 ，
∴y2=–x2+x+2，∴B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y=x+1，
①若B为直角的顶点，BE⊥AB，kBE•kAB=–1，
∴kBE=–1，则直线BE的解析式为y=–x+5．
联立，
解得或，此时E（6，–1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，kAE•kAB=–1，
∴kAE=–1，则直线AE的解析式为y=–x–3，
联立，
解得或，
此时E（10，–13）；
③若E为直角顶点，设E（m，–m2+m+2）
由AE⊥BE得kBE•kAE=–1，
即，
解得m=2或–2（不符合题意均舍去），
∴存在，∴E（6，–1）或E（10，–13）；
（3） y1≤y2，观察图形可得：x的取值范围为–2≤x≤2，
设M（t，t2+t），N（t，−t2+t+2），且–2≤t≤2，
易求直线A