:2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第二章_第四节_导数的综合应用

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级基础夯实练

1．(2018·安徽合肥一中等六校联考)已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数．

(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1，f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2，所以切点的坐标为(0，1)，所以切线方程为2x－y＋1＝0。

(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，由题意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax，所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)，

①若a≥0，则当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增，

所以h(x)min＝h(0)＝a－1，则a－1≥0，得a≥1。

②若a＜0，则当x∈[0，－a)时，h′(x)≤0，当x∈(－a，＋∞)时，h′(x)≥0，

所以函数h(x)在[0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(－a)，又h(－a)＜h(0)＝a－1＜0，所以不合题意．

综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．

2．(2018·青岛调研)设函数f(x)＝－klnx，k＞0。

(1)求f(x)的单调区间和极值．

(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．

解：(1)由f(x)＝－klnx(k＞0)得

f′(x)＝x－＝。

由f′(x)＝0解得x＝。

f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：

x

(0，)

(，＋∞)

f′(x)

－

0

＋

f(x)



