:2018年宜宾中考总复习精练第2编专题4：三角形、四边形综合性

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专题四 三角形、四边形综合问题探究

1．(2017宜宾中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝__3__．
2．(2016宜宾中考改编)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EG分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连结ED，DG.
(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．

解：(1)四边形EBGD是菱形．
理由： EG垂直平分BD，
∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB，
∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中，

∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，
∴BE＝ED＝DG＝GB，
∴四边形EBGD是菱形；

(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连结EC交BD于点H，此时HG＋HC最小．
在Rt△EBM中，
∠EMB＝90°，
∠EBM＝30°，EB＝ED＝2，
∴EM＝BE＝.
DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM＝DN＝，
MN＝DE＝2.
在Rt△DNC中， ∠DNC＝90°，
∠DCN＝45°，
∴∠NDC＝∠NCD＝45°，
∴DN＝NC＝，∴MC＝3，
在Rt△EMC中， ∠EMC＝90°，
EM＝，MC＝3，
∴EC＝＝＝10.
HG＋HC＝EH＋HC＝EC，
∴HG＋HC的最小值为10.
3．如图，点O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
解：(1) D，G分别是AB，AC的中点，
∴D