:小专题(三) 利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题
平面(或曲面)上的最短路线问题是数学中常见的一种最值问题,勾股定理及其逆定理是解决这类问题的一大利器.求最短路线问题,首先要把实际问题转化成含有直角三角形的数学模型,再根据“两点之间,线段最短”的数学事实通过勾股定理(或逆定理)得出最短路线.如果求曲面上的最短路线,还要通过转化的方法先将曲面展开得到一个熟悉的平面图形,然后再通过平面图形来解决.
类型1 平面上的最短路径问题
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点M在AC边上,且AM=1,MC=4,动点P在AB边上,连接PC,PM,则PC+PM的最小值是(C)
A.√17 B.6 C.√26 D.7
2.如图,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为 (D)
A.4.8 B.8 C.8.8 D.9.8
3.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)直接写出AC+CE的值;(用含x的代数式表示)
(2)求AC+CE的最小值.
解:(1)AC+CE=√(AB^2+BC^2 )+√(CD^2+DE^2 )=√(25+"(" 8"-" x")" ^2 )+√(1+x^2 ).
(2)如图,连接AE交BD于点C1,此时AC+CE有最小值.平移DE至BF.
则BF=DE=1,EF=BD=8,AF=AB+BF=5+1=6,
