随堂巩固训练(13)
1。已知矩阵M＝，β＝，试计算M9β。
2。已知二阶矩阵A＝，向量β＝。
(1)求二阶矩阵A的特征值和特征向量；
(2)计算A2β。
3。在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P(x，y)变换为点P′(2x＋y，3x)．
(1)求矩阵M的逆矩阵M－1；
(2)求曲线4x＋y－1＝0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．
4。已知甲、乙两个种群相互影响，其数列量分别为{an}，{bn}，a1＝20，b1＝30，且有关系式试求10个时段后甲、乙两个种群的数量．
随堂巩固训练(13)
1。解析：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－3)(λ＋2)＋4＝λ2－λ－2。
令f(λ)＝0，得λ1＝2，λ2＝－1。
当λ1＝2时，对应的一个特征向量为α1＝；
当λ1＝－1时，对应的一个特征向量为α2＝。
又因为β＝＝α1＋2α2，
所以M9β＝29＋(－1)9×2＝。
2。解析：(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－4，
令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝3，λ2＝－1。
当λ1＝3时，代入二元一次方程组
解得y＝x，令x＝1，
所以属于特征值λ1＝3的一个特征向量为α1＝；
当λ2＝－1时，代入二元一次方程组
解得y＝－x，令x＝1，
所以属于特征值λ2＝－1的一个特征向量为a2＝。
(2)由(1)知α1＝，α2＝，
令β＝mα1＋nα2，
则＝m＋n，解得m＝2，n＝0，
所以A2β＝A2(2α1＋0×α2)＝2×32＝。
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