随堂巩固训练(12)
1。已知矩阵A＝，若矩阵A的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝。求矩阵A的逆矩阵．
2。已知矩阵A＝，若点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．
(1)求实数a的值；
(2)求矩阵A的特征值．
3。若矩阵A有特征向量i＝和j＝，且它们对应的特征值分别为λ1＝2，λ2＝－1。
(1)求矩阵A及其逆矩阵A－1；
(2)求逆矩阵A－1的特征值及特征向量；
(3)对任意向量α＝，求A100α。
4。设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
(2)求逆矩阵M－1以及椭圆＋＝1在M－1的作用下得到的新曲线的方程．
答案与解析随堂巩固训练(12)
1。解析：由矩阵A的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，可得＝6×，即c＋d＝6；
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得＝，即3c－2d＝－2，解得即A＝，
所以矩阵A的逆矩阵是。
2。解析：(1)由＝，得a＋1＝－8，
所以a＝－9。
(2)由(1)知A＝，矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为－2或4。
3。解析：(1)设矩阵A＝，那么根据题意可得＝2×，即
＝－1×，即
故矩阵A＝，逆矩阵A－1＝。
(2)逆矩阵的特征值有两个分别为λ′1＝－1，λ′2＝，属于特征值λ′1的一个特征向量可以取m＝，属于特征值λ′2的一个特征向量可以取n＝。
(3)由于α＝＝x＋y＝xi＋yj，
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