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大题分层练(一)三角、数列、概率统计、立体几何(A组)
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3.
(1)求△ABC的面积.
(2)若c=1,求a的值.
【解析】(1)cos A=2cos2-1=2×-1=,又A∈(0,π),sin A==,而·=||·||·cos A=bc=3,所以bc=5,
所以△ABC的面积为:bcsin A=×5×=2.
(2)由(1)知bc=5,而c=1,所以b=5,
所以a===2.
2.已知{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,且b1=a1=1,b3=a4, b1+b2+b3=a3+a4.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,依题意得解得d=1,q=2,
所以an=1+(n-1)=n,bn=1×2n-1=2n-1.
(2)由(1)知cn=anbn=n·2n-1,则
Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1 ①
2Tn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n ②
①-②得:-Tn=1·20+1·21+1·22+…+1·2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1.
所以Tn=(n-1)·2n+1.
3.天然气是较为安全的燃气之一,它不含一氧化碳,也比空气轻,一旦泄露,立即会向上扩散,不易积累形成爆炸性气体,安全性较高,其优点有:①绿色环保;
②经济实惠;③安全可靠;④改善生活. 某市政府为了节约居民天然气,计划在本市试行居民天然气定额管理,即确定一个居民年用气量的标准,为了确定一个较为合理的标准,必须先了解全市居民日常用气量的分布情况,现采用抽样调查的方式,获得了n位居民某年的用气量(单位:立方米),样本统计结果如图表.
分组
频数
频率
[0,10)
25
[10,20)
0.19
[20,30)
50
[30,40)
0.23
