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大题分层练(七)解析几何、函数与导数(C组)
1.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值.
(2)求f(x)的单调区间.
(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)
a的取值范围.
【解析】f′(x)=ax-(2a+1)+(x>0).
(1)由题意知f′(1)=f′(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+,解得a=.
(2)f′(x)=(x>0).
①当a≤0时,因为x>0,所以ax-1<0,在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2),
单调递减区间是(2,+∞).
②当02,在区间(0,2)和上,f′(x)>0;在区间上,
f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是
.
③当a=时,f′(x)=≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
④当a>时,0<<2,在区间和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间上,
f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是.
(3)由题意知,在(0,2]上有f(x)max①当a≤时,f(x)在(0,2]上单调递增,
故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2,所以-2a-2+2ln 2<0,解得
a>ln 2-1,
故ln 2-1②当a>时,f(x)在上单调递增;在上单调递减,故f(x)max=
f =-2--2ln a.
由a>可知ln a>ln >ln =-1,所以2ln a>-2,即-2ln a<2,所以-2-2ln a<0,
所以f(x)max<0,综上所述,a>ln 2-1.
2.如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x- 
