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大题分层练(六)解析几何、函数与导数(B组)
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.
【解析】(1)由已知可得解得a2=2,b2=1,c2=1,所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由得(1+2k2)x2+8kx+6=0,则Δ=64k2-24(1+2k2)=16k2-24>0,解得k<-或k>.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
设存在点D(0,m),则kAD=,kBD=,
所以kAD+kBD=
==.
要使kAD+kBD为定值,只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2(2m-1),k与参数m无关,
故2m-1=0,解得m=,当m=时,kAD+kBD=0.
综上所述,存在点D,使得kAD+kBD为定值,且定值为0.
2.已知函数h(x)=(x-a)ex+a.
(1)若x∈[-1,1],求函数h(x)的最小值.
(2)当a=3时,若对∀x1∈[-1,1],∃x2∈[1,2],使得h(x1)≥-2bx2-ae+e+成立,求b的范围.
【解析】(1)h′(x)=(x-a+1)ex,令h′(x)=0得x=a-1.
当a-1≤-1即a≤0时,在[-1,1]上h′(x)≥0,h(x)递增,h(x)的最小值为h(-1)=a-.
当-1
当a-1≥1即a≥2时,在[-1,1]上h′(x)≤0,h(x)递减,h(x)的最小值为h(1)=(1-a)e+a.
综上所述,当a≤0时h(x)的最小值为a-,当a≥2时h(x)的最小值为(1-a)e+a,当0(2)令f(x)=x2 
