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大题分层练(八)解析几何、函数与导数(D组)
1.过椭圆C:+=1(a>b>0)右焦点F(1,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,自A,B向直线x=5作垂线,垂足分别为A1,B1,且=.
(1)求椭圆C的方程.
(2)记△AFA1,△FA1B1,△BFB1的面积分别为S1,S2,S3,证明:是定值,并求出该定值.
【解析】(1)设A(x,y),则|AA1|=|5-x|,|AF|=,由=,得+=1,而A是椭圆C上的任一点,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由题意知,直线AB的斜率不可以为0,而可以不存在,所以可设直线AB的方程为x=my+1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(4m2+5)y2+8my-16=0,
所以y1+y2=-,y1y2=-. ①
由题意得,S1=|AA1||y1|=|5-x1||y1|,
S3=|BB1||y2|=|5-x2||y2|,
S2=|A1B1|·4=2|y1-y2|,
所以=·
=·
=-·,
将①代入,化简并计算可得=,
所以是定值,且该定值为.
2.已知函数f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值.
(2)若函数在区间(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-2a2x+a=
=.
①当a=0时,f′(x)=>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),此时f(x)无极值.
②当a>0时,令f′(x)=0,得x=或x=-(舍去).
f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,所以f(x)有极大值为f =-ln a,无极小值.
③当a<0时,令f′(x)=0,得x=(舍去)或x=-,所以f(x)的单调递增区间为,
单调递减区间为,所以f(x)有极大值为f = ln-=-ln(-2a)-,无极小值.
(2)由(1)可知:①当a=0时,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,不合题意.
②当a>0时,f(x)的单调递减区间为,依题意,得得a≥1.
