:高考数学(理)冲刺大题提分(讲义、练习)大题精做10_圆锥曲线：定点、定值问题(理)

来源：快读网编辑：秩名时间：2020-03-26

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圆锥曲线：定点、定值问题

大题精做十

精选大题

[2019·甘肃联考]已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，
且原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切．
试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题可知，，，则，
直线的方程为，即，所以，
解得，，
又，所以椭圆的标准方程为．
（2）因为直线与圆相切，
所以，即．
设，，联立，得，
所以，
，，
所以．
又，所以．
因为，同理．
所以，
所以的周长是，
则的周长为定值．

模拟精做

1．[2019·安庆期末]已知椭圆过点，焦距长，过点的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，求证：为定值．

2．[2019·东莞期末]已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点，（均异于点），
求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

3．[2019·漳州一模]已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点且斜率存在的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．

答案与解析

1．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由条件焦距为，知，从而将代入方程，
可得，，故椭圆方

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