:高考数学(理)冲刺大题提分(讲义、练习)大题精做7_立体几何：建系困难问题(理)

来源：快读网编辑：秩名时间：2020-03-26

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立体几何：建系困难问题
大题精做二数列

大题精做七

精选大题

[2019·长沙统测]已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
（1）证明：平面平面；
（2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．

图一图二
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）设的中点为，连接，．

由题意，得，，．
∵在中，，为的中点，∴，
∵在中，，，，，∴．
∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）由（1）知，，，平面，
∴是直线与平面所成的角，且，
∴当最短时，即是的中点时，最大．
由平面，，∴，，
于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则由得：．令，得，，即．
设平面的法向量为，
由得：，令，得，，即．
．由图可知，二面角的余弦值为．

模拟精做

1．[2019·安庆期末]矩形中，，，点为中点，沿将折起至，如图所示，点在面的射影落在上．

（1）求证：面面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

2．[2019·南阳期末]如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2．

（1）若点在线段上，且，证明：；
（2）记平面与平面的交线为．若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

3．[2019·苏州调研]如图，在四棱锥中，已知底面是边长为1的正方形，侧面平面，，与平面所成角的正弦值为．

（1）求侧棱的长；
（2）设为中

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