:小专题(九)_与等腰三角形的性质与判定相关的证明

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小专题(九)　与等腰三角形的性质与判定相关的证明
类型1　证明线段或角的数量关系
1．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.

证明：连接AD.
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD(SAS)．
∴DE＝DF.


2．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD和BE交于H，且BE＝AE.求证：AH＝2BD.

证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ADB＝90°.
∴∠EBC＝∠EAH.
∵BE＝AE，
∴△AHE≌△BCE.
∴AH＝BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD.
∴AH＝2BD.


3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F，交BC于E，求证：∠ADB＝∠CDE.

证明：过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.
又∵AF⊥BD，AC⊥CG，
∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.
∴∠ABF＝∠CAG.
在△ABD和△CAG中，

∴△ABD≌△CAG(ASA)．
∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.
又∵D为AC中点，∴AD＝CD.
∴CD＝CG.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.
∴∠ACB＝∠GCE.
∴△CDE≌△CGE(SAS)．
∴∠CDE＝∠G.
∴∠ADB＝∠CDE.


4．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB＋BD＝AC.

证明：延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E.
又∵∠ABC＝2∠C＝2∠E，
∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠D